Формулы равномерного и равноускоренного движения

Формулы равномерного и равноускоренного движения

Формула скорости движения при равномерном движении:

v=const
a=0
v — скорость, м/с
s — перемещение, м
t — время, с
Формула перемещения при равномерном движении:

Координата вычисляются через кинематическое уравнение равномерного прямолинейного движения по формуле:

График — Равномерного прямолинейного движения

Равноускоренное движение

Формула скорости при равноускоренном движении:

a=const
v — начальная скорость, м/с
a — ускорение, м/с 2
Формула для нахождения перемещения при равноускоренном движении:

или

Уравнение равноускоренного движения в проекции на оси координат:

Формула для определения ускорения при равноускоренном прямолинейном движении:

v — начальная скорость, м/с
v — мгновенная скорость, м/с
Формула для определения средней скорости движения:

График — Равноускоренное движение при a>0

Равнозамедленное движение

Формула скорости при равнозамедленном движении:

Формула перемещения при равнозамедленном движении:

График — Равнозамедленное движение при a<0

Свободное падение

Постоянная величина скорости свободного падения тела равна g=9,8 м/с 2
Формула для вычисления скорости при свободном падении тела:

Формула для вычисления перемещения при свободном падении тела:


Формула координаты при свободном падении тела:

Формула высоты с которой тело свободно падает:

Формула для определения скорости тела в конце свободного падения:

Время свободного падения тела равно:

Движение с переменным ускорением

Здесь — первая производная координаты по времени (м/с), — первая производная пути по времени (м/с), — среднее ускорение — первая производная скорости по времени — вторая производная координаты по времени — вторая производная пути по времени . Остальные величины названы в пункте Равноускоренное движение.

Правило сложения классических скоростей:

Здесь — скорость тела относительно неподвижной системы отсчета (абсолютная скорость), — скорость тела относительно подвижной системы отсчета (относительная скорость), — скорость подвижной системы отсчета относительно неподвижной (переносная скорость).

Если из условия задачи следует, что тело начало движение из состояния покоя, например, поезд отошел от станции или автомобиль выехал из пункта А и т. п., то в «Дано:» следует записать, что его начальная скорость . Если же из условия задачи следует, что тело в конце торможения остановилось, то следует записать, что его конечная скорость v = 0.

Из сравнения уравнений

следует, что если координата тела х зависит от времени движения t в первой степени, то это равномерное движение, а если координата х зависит от времени , то это движение равноускоренное. Если же координата тела зависит от времени с иным показателем степени, то такое движение происходит с переменным ускорением и к нему формулы равноускоренного движения неприменимы (кроме формулы , которую можно использовать при любом движении). Аналогично, если скорость тела зависит от времени движения в первой степени, как в формуле , то движение равноускоренное, а если показатель степени у времени t нулевой, то , и это значит, что скорость не зависит от времени, т.е. постоянна, поэтому движение является равномерным. Если же показатель степени у скорости иной, то движение происходит с переменным ускорением.

Если вам дано уравнение типа (см), то из сравнения его с уравнением следует, что начальная координата = 6 см, а скорость тела v = 4 см/с.

Если вам дано уравнение типа (м), то из сравнения его с уравнением следует, что начальная координата м, проекция начальной скорости м/с и, так как , проекция ускорения тела .

Формулу средней скорости можно применять только при равноускоренном движении, т.е. когда ускорение тела не меняется в течение всего времени движения. Если же на некотором пути тело двигалось сначала с одним ускорением, потом с другим или вообще равномерно, то определять среднюю скорость на всем пути или за все время движения можно только из формулы

Пути, проходимые телом при равноускоренном движении без начальной скорости, относятся как ряд последовательных нечетных чисел:

Если в условии задачи идет речь о скорости в средней точке пути, то учтите, что это не средняя скорость на всем пути, а мгновенная скорость на середине пути, — она является конечной скоростью для первой половины пути и начальной скоростью для второй половины.

Эта теория со страницы подробного решения задач по физике, там расположена теория и подробное решения задач по всем темам физики:

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Перемещении при прямолинейном равноускоренном движении

Покажем, как можно найти пройденный телом путь с помощью графика зависимости скорости от времени.

Начнем с самого простого случая – равномерного движения. На рисунке 6.1 изображен график зависимости v(t) – скорости от времени. Он представляет собой отрезок прямой, параллельной осн времени, так как при равномерном движении скорость постоянна.

Фигура, заключенная под этим графиком, – прямоугольник (он закрашен на рисунке). Его площадь численно равна произведению скорости v на время движения t. С другой стороны, произведение vt равно пути l, пройденному телом. Итак, при равномерном движении

путь численно равен площади фигуры, заключенной под графиком зависимости скорости от времени.

Покажем теперь, что этим замечательным свойством обладает и неравномерное движение.

Пусть, например, график зависимости скорости от времени имеет вид кривой, изображенной на рисунке 6.2.

Разобьем мысленно все время движения на столь малые промежутки, чтобы в течение каждого из них движение тела можно было считать практически равномерным (это разбиение показано штриховыми линиями на рисунке 6.2).

Тогда путь, пройденный за каждый такой промежуток, численно равен площади фигуры под соответствующим ком графика. Поэтому и весь путь равен площади фигур заключенной под всем графиком. (Использованный нами прием лежит в основе интегрального исчисления, основы которого вы будете изучать в курсе «Начала математического анализа».)

2. Путь и перемещение при прямолинейном равноускоренном движении

Применим теперь описанный выше способ нахождения пути к прямолинейному равноускоренному движению.

Начальная скорость тела равна нулю

Направим ось x в сторону ускорения тела. Тогда a_x = a, v_x = v. Следовательно,

На рисунке 6.3 изображен график зависимости v(t).

? 1. Используя рисунок 6.3, докажите, что при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости путь l выражается через модуль ускорения a и время движения t формулой

при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости пройденный телом путь пропорционален квадрату времени движения.

Этим равноускоренное движение существенно отличается от равномерного.

На рисунке 6.4 приведены графики зависимости пути от времени для двух тел, одно из которых движется равномерно, а другое – равноускоренно без начальной скорости.

? 2. Рассмотрите рисунок 6.4 и ответьте на вопросы.
а) Каким цветом изображен график для тела, движущегося равноускоренно?
б) Чему равно ускорение этого тела?
в) Чему равны скорости тел в тот момент, когда они прошли одинаковый путь?
г) В какой момент времени скорости тел равны?

? 3. Тронувшись с места, автомобиль за первые 4 с проехал расстояние 20 м. Движение автомобиля считайте прямолинейным равноускоренным. Не вычисляя ускорения автомобиля, определите, какое расстояние проедет автомобиль:
а) за 8 с? б) за 16 с? в) за 2 с?

Найдем теперь зависимость проекции перемещения s_x от времени. В данном случае проекция ускорения на ось x положительна, поэтому s_x = l, a_x = a. Таким образом, из формулы (2) следует:

Формулы (2) и (3) очень похожи, что приводит порой к ошибкам при решении простых задач. Дело в том, что значение проекции перемещения может быть отрицательным. Так будет, если ось x направлена противоположно перемещению: тогда s_x < 0. А путь отрицательным быть не может!

? 4. На рисунке 6.5 изображены графики зависимости от времени пути и проекции перемещения для некоторого тела. Какой цвет у графика проекции перемещения?

Начальная скорость тела не равна нулю

Напомним, что в таком случае зависимость проекции скорости от времени выражается формулой

где v_0x – проекция начальной скорости на ось x.

Мы рассмотрим далее случай, когда v_0x > 0, a_x > 0. В этом случае снова можно воспользоваться тем, что путь численно равен площади фигуры под графиком зависимости скорости от времени. (Другие комбинации знаков проекции начальной скорости и ускорения рассмотрите самостоятельно: в результате получится та же общая формула (5).

На рисунке 6.6 изображен график зависимости v_x(t) при v_0x > 0, a_x > 0.

? 5. Используя рисунок 6.6, докажите, что при прямолинейном равноускоренном движении с начальной скоростью проекция перемещения

Эта формула позволяет найти зависимость координаты x тела от времени. Напомним (см. формулу (6), § 2), что координата x тела связана с проекцией его перемещения s_x соотношением

где x — начальная координата тела. Следовательно,

Из формул (5), (6) получаем:

6. Зависимость координаты от времени для некоторого тела, движущегося вдоль оси x, выражается в единицах СИ формулой x = 6 – 5t + t 2 .
а) Чему равна начальная координата тела?
б) Чему равна проекция начальной скорости на ось x?
в) Чему равна проекция ускорения на ось x?
г) Начертите график зависимости координаты x от времени.
д) Начертите график зависимости проекции скорости от времени.
е) В какой момент скорость тела равна нулю?
ж) Вернется ли тело в начальную точку? Если да, то в какой момент (моменты) времени?
з) Пройдет ли тело через начало координат? Если да, то в какой момент (моменты) времени?
и) Начертите график зависимости проекции перемещения от времени.
к) Начертите график зависимости пути от времени.

3. Соотношение между путем и скоростью

При решении задач часто используют соотношения между путем, ускорением и скоростью (начальной v, конечной v или ими обеими). Выведем эти соотношения. Начнем с движения без начальной скорости. Из формулы (1) получаем для времени движения:

Подставим это выражение в формулу (2) для пути:

l = at 2 /2 = a/2(v/a) 2 = v 2 /2a. (9)

при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости пройденный телом путь пропорционален квадрату конечной скорости.

? 7. Тронувшись с места, автомобиль набрал скорость 10 м/с на пути 40 м. Движение автомобиля считайте прямолинейным равноускоренным. Не вычисляя ускорения автомобиля, определите, какой путь от начала движения проехал автомобиль, когда его скорость была равна: а) 20 м/с? б) 40 м/с? в) 5 м/с?

Соотношение (9) можно получить также, вспомнив, что путь численно равен площади фигуры, заключенной под графиком зависимости скорости от времени (рис. 6.7).

Это соображение поможет вам легко справиться со следующим заданием.

? 8. Используя рисунок 6.8, докажите, что при торможении с постоянным ускорением тело проходит до полной остановки путь l_т = v 2 /2a, где v – начальная скорость тела, a – модуль ускорения.

В случае торможения транспортного средства (автомобиль, поезд) путь, пройденный до полной остановки, называют тормозным путём. Обратите внимание: тормозной путь при начальной скорости v и путь, пройденный при разгоне с места до скорости v с тем же по модулю ускорением a, одинаковы.

? 9. При экстренном торможении на сухом асфальте ускорение автомобиля равно по модулю 5 м/с 2 . Чему равен тормозной путь автомобиля при начальной скорости: а) 60 км/ч (максимальная разрешенная скорость в городе); б) 120 км/ч? Найдите тормозной путь при указанных скоростях во время гололеда, когда модуль ускорения равен 2 м/с 2 . Сравните найденные вами значения тормозного пути с длиной классной комнаты.

? 10. Используя рисунок 6.9 и формулу, выражающую площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований, докажите, что при прямолинейном равноускоренном движении:
а) l = (v 2 – v 2 )/2a, если скорость тела увеличивается;
б) l = (v 2 – v 2 )/2a, если скорость тела уменьшается.

? 11. Докажите, что проекции перемещения, начальной и конечной скорости, а также ускорения связаны соотношением

? 12. Автомобиль на пути 200 м разогнался от скорости 10 м/с до 30 м/с.
а) С каким ускорением двигался автомобиль?
б) За какое время автомобиль проехал указанный путь?
в) Чему равна средняя скорость автомобиля?

Лютый опыт

Дополнительные вопросы и задания

13. От движущегося поезда отцепляют последний вагон, после чего поезд движется равномерно, а вагон – с постоянным ускорением до полной остановки.
а) Изобразите на одном чертеже графики зависимости скорости от времени для поезда и вагона.
б) Во сколько раз путь, пройденный вагоном до остановки, меньше пути, пройденного поездом за то же время?

14. Отойдя от станции, электричка какое-то время ехала равноускоренно, затем в течение 1 мин – равномерно со скоростью 60 км/ч, после чего снова равноускоренно до остановки на следующей станции. Модули ускорений при разгоне и торможении были различны. Расстояние между станциями электричка прошла за 2 мин.
а) Начертите схематически график зависимости проекции скорости электрички от времени.
б) Используя этот график, найдите расстояние между станциями.
в) Какое расстояние проехала бы электричка, если бы на первом участке пути она разгонялась, а на втором – тормозила? Какова была бы при этом ее максимальная скорость?

15. Тело движется равноускоренно вдоль оси x. В начальный момент оно находилось в начале координат, а проекция его скорости была равна 8 м/с. Через 2 с координата тела стала равной 12 м.
а) Чему равна проекция ускорения тела?
б) Постройте график зависимости v_x(t).
в) Напишите формулу, выражающую в единицах СИ зависимость x(t).
г) Будет ли скорость тела равна нулю? Если да, то в какой момент времени?
д) Побывает ли тело второй раз в точке с координатой 12 м? Если да, то в какой момент времени?
е) Вернется ли тело в начальную точку? Если да, то в какой момент времени, и чему будет равен пройденный при этом путь?

16. После толчка шарик вкатывается вверх по наклонной плоскости, после чего возвращается в начальную точку. На расстоянии b от начальной точки шарик побывал дважды через промежутки времени t₁ и t₂ после толчка. Вверх и вниз вдоль наклонной плоскости шарик двигался с одинаковым по модулю ускорением.
а) Направьте ось x вверх вдоль наклонной плоскости, выберите начало координат в точке начального положения шарика и напишите формулу, выражающую зависимость x(t), в которую входят модуль начальной скорости шарика v0 и модуль ускорения шарика a.
б) Используя эту формулу и тот факт, что на расстоянии b от начальной точки шарик побывал в моменты времени t₁ и t₂ составьте систему двух уравнений с двумя неизвестными v и a.
в) Решив эту систему уравнений, выразите v и a через b, t₁ и t₂.
г) Выразите весь пройденный шариком путь l через b, t₁ и t₂.
д) Найдите числовые значения v, a и l при b = 30 см, t₁ = 1с, t₂ = 2 с.
е) Постройте графики зависимости v_x(t), s_x(t), l(t).
ж) С помощью графика зависимости sx(t) определите момент, когда модуль перемещения шарика был максимальным.

Равноускоренное движение. Ускорение — Пурышева, Важеевская, 7 класс.

66. Приведите примеры движений, которые можно считать равноускоренными.
Падающий камень, автомобиль.

67. Заполните таблицу 15.

68. Запишите формулу для вычисления ускорения и укажите, какие величины обозначены использованными вами буквами.
а =𝑣-𝑣0 /t, где
а – ускорение
t — время
𝑣0 – начальная скорость
𝑣 – скорость в момент времени t

69. Объясните, почему ускорение является векторной величиной.
Так как она имеет направление

70. Что означает утверждение: «Ускорение самолёта при взлёте равно 100 м/с2»?
За 1 с. самолёт развивает скорость 100 м/с

71. Выразите значения ускорения в основных единицах.
981 см/с2 = 9,81 м/с2;
53 см/с2 = 0,53 м/с2;
180 см/с2 = 1,8 м/с2;
6,3·102 см/с2 = 6,3 м/с2.

72. С каким ускорением движется автомобиль, если за 20 с. он увеличивает свою скорость с 12 м/с до 20 м/с?

73. Придумайте задачу по приведённым ниже данным и решите её.

𝑣0 = 0 м/с, а = 0,5 м/с2, t = 5c.
Найдите 𝑣 в момент времени t

74. Вагон движется равноускоренно с ускорением -0,5 м/с2. Начальная скорость вагона была равно 54 км/ч. Через какое время вагон остановится?

76. Два тела движутся из состояния покоя в одном направлении. Ускорение перdого тела 0,2 м/с2. Вычислите устно скорость движения тел и заполните таблицу 16.

По данным таблицы 16 постройте графики зависимости скорости равноускоренного движения этих тел от времени движения.

Как зависит угол наклона построенных вами графиков от ускорения движения тел?
Чем больше ускорение, тем больше угол.

Постройте графики зависимости ускорения этих тел от времени их движения.

77. Скорость поезда за 20 с. уменьшилась с 72 км/ч до 54 км/ч. Напишите формулу зависимости скорости тела от времени его движения.

Постройте график этой зависимости, предварительно заполнив таблицу 17.

78. Пользуясь графиком зависимости скорости жирафа, убегающего от хищника, от времени (рис.21), найдите: начальную скорость жирафа (𝑣0), его скорость через 4 с (𝑣1) и через 6 с движения (𝑣2). Вычислите развиваемое м ускорение.

79. На рисунке 22 приведены графики зависимости скорости движения двух тел от времени.

а) опишите характер движения каждого тела:
1 – равноускоренное движение
2 – равнозамедленное движение

б) определите модули начальных скоростей тел и их направления:
𝑣01=0 м/с (по направлению)
𝑣02 = 20м/с (против направления)

в) найдите модули и направления ускорений этих тел:
а1 =1,2 м/с2 (по направлению)
а2 =0,8 м/с2 (против направления)

г) Какой физический смысл имеет точка пересечения графиков?
Модули скорости тел совпадают.

д) Какой физический смысл имеет точка пересечения графика II с осью времени t?
Тело остановилось.

Изобразите на рисунке рассматриваемую вами ситуацию. Укажите направления скоростей и ускорений движущихся тел.

80. Тело, двигаясь без начальной скорости, прошло за первую секунду 1 м., за вторую – 2 м., за третью – 3 м., за четвёртую – 4 м. и т.д. Является ли движение равноускоренным? Почему?
Да, движение является равноускоренным, так как скорость с течением времени увеличивается равномерно.

81. Прочитайте текст и выполните задание к нему.

Используя график зависимости скорости равномерного движения от времени (рис.23, а), можно рассчитать путь, пройденный телом за любой промежуток времени. Для примера вычислим путь, пройденный телом за 5 с. Для этого скорость тела 𝑣 умножим на время t: s = 𝑣t. Из графика определяем, что скорость тела равна 20 м/с, следовательно, s = 20 м/с·5 с = 100 м.

Из рисунка 23, б видно, что произведение скорости и времени численно равно площади прямоугольника, ограниченного графиком зависимости скорости от времени, координатными осями и перпендикуляром, проведённым к графику в точке t = 5 с. Площадь прямоугольника равно произведениям его длины и ширины.
Теперь построим график зависимости скорости равноускоренного движения от времени, считая, что ускорение движения равно 2 м/с2 и тело начинает движение из состояния покоя, т.е. его начальная скорость равна нулю. Графиком зависимости скорости от времени в данном случае (𝑣 =2t) является прямая, проходящая через начало координат под некоторым углом к оси времени (рис. 24, а).

По графику можно найти путь, пройденный телом за любой промежуток времени, аналогично тому, как это было сделано для равномерного движения. Путь будет численно равен площади треугольника (рис. 24, б), ограниченного графиком зависимости скорости от времени, координатными осями и перпендикуляром, проведённым к графику в точке, соответствующей некоторому моменту времени. Площадь треугольника равна половине площади прямоугольника.
Найдем путь s, пройденный телом за t = 5 с. Для этого по графику определим значение скорости в момент времени t = 5 с, умножим его на время и разделим на 2, получим:

а) Вычислите по графику, приведённому на рисунке 23, а, путь, пройденный телом за 7 с.
s = 20·7 = 140 м

б) Вычислите по графику, приведённому на рисунке 24, а, путь, пройденный телом за 8 с.
s = 20·8 = 160 м.

в)* Получите формулу для вычисления пути при равноускоренном движении с начальной скоростью, равной нулю. Воспользуйтесь для этого графиком скорости и формулой, связывающей скорость, ускорение и время движения

г)* Постройте в одной системе координат графики зависимости скорости движения от времени для трёх тел, если
𝑣01 = 5 м/с, а1 = 0;
𝑣02 = 5м/с, а2 = 1 м/с2;
𝑣03 = 0, а3 = 1 м/с2.

Определите путь, пройденный каждым телом за 4 с.
s1 = 5м;
s2 = 36м;
s3 = 4 м.